Vrtá vám hlavou, jak může probíhat doučování matematiky formou řešených příkladů? Podívejte se na ukázkové výukové příklady.

1)   Vyřeš rovnici $\dfrac{x-9}{5}=-3$ a výsledek ověř zkouškou.
[wpex more=“Zobrazit řešení zdarma“ less=“Skrýt řešení“]

$$\begin{eqnarray*}\dfrac{x-9}{5}&=&-3\:/\cdot5\\[4ex] \dfrac{\color{red}{5}(x-9)}{\color{red}{5}}&=&-3\cdot5\\[4ex] x-9&=&-15\\[2ex] x&=&-15+9\\[2ex] x&=&-6\end{eqnarray*}$$

Zkouška:

$$\begin{eqnarray*}L&=&\dfrac{x-9}{5}=\dfrac{-6-9}{5}=\dfrac{-15}{5}=-3\\[4ex] P&=&-3\\[2ex] L&=&P\end{eqnarray*}$$ [/wpex]

2)   Vyřeš rovnici
$x^{3+4log_{\:}x}=10x^6$[wpex more=“Zobrazit řešení“ less=“Skrýt řešení“] V zadání máme exponenciální rovnici. Abychom ji mohli vyřešit, musíme mít vlevo i$\nobreakspace$vpravo stejný základ. V našem příkladě se nám to nepodaří. Přesto takové příklady umíme vyřešit.
Nejdřív vyřešíme podmínku pro logaritmus.
Podmínky:

$$x>0\qquad\qquad⇒\qquad x\in \left(0; \infty\right)$$
Danou rovnici teď zlomaritmujeme, tzn. před celou levou stranu rovnice dáme log a to samé i na pravé straně rovnice. Logaritmus bude mít vždy základ 10. Dostaneme
$$log_{\:}x^{3+4log_{\:}x}=log_{\:}10x^6$$
Jakmile rovnici zlogaritmujeme, můžeme využívat věty pro logaritmus a rovnici upravovat. Nejdříve použijeme větu pro exponent a pro součin logaritmů.
$$\begin{eqnarray*}log_{\:}x^{3+4log_{\:}x}&=&log_{\:}10x^6\\ (3+4log_{\:}x)\cdot(log_{\:}x)&=&log_{\:}10+log_{\:}x^6\end{eqnarray*}$$
Levou část rovnice roznásobíme a vpravo využijeme větu pro exponent.
$$\begin{eqnarray*}(3+4log_{\:}x)\cdot(log_{\:}x)&=&log_{\:}10+log_{\:}x^6\\ 3log_{\:}x+4log_{\:}x\cdot(log_{\:}x)&=&log_{\:}10+6log_{\:}x\\ 3log_{\:}x+4log^{2}x&=&log_{\:}10+6log_{\:}x\end{eqnarray*}$$
Přesuneme členy s neznámou na jednu stranu a člen bez neznámé umíme upravit na číslo – spočítáme.
$$\begin{eqnarray*}3log_{\:}x+4log^{2}x&=&log_{\:}10+6log_{\:}x\\ 4log^{2}x+3log_{\:}x-6log_{\:}x&=&log_{\:}10\\ 4log^{2}x-3log_{\:}x&=&log_{\:}10\\[4ex] a^y&=&x\\ 10^y&=&10\\ 10^y&=&10^1\\ y&=&1\\[4ex] 4log^{2}x-3log_{\:}x&=&1\\ 4log^{2}x-3log_{\:}x-1&=&0\end{eqnarray*}$$
Úpravami jsme se dostali ke kvadratické rovnici. Provedeme substituci a spočítáme kořeny.
$$\begin{eqnarray*}4log^{2}x-3log_{\:}x-1&=&0\qquad\qquad\qquad subs:log_{\:}x=a\\[2ex] 4a^{2}-3a-1&=&0\end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}D&=&b^{2}-4ac\\ D&=&(-3)^{2}-4\cdot4\cdot(-1)\\ D&=&9+16\\ D&=&25\end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*}a_{1,2}&=&\dfrac {-b\pm \sqrt{D}}{2a}\\[2ex] a_{1,2}&=&\dfrac {-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot4}\\[2ex] a_{1,2}&=&\dfrac {3\pm 5}{8}\\[2ex] a_{1}&=&\dfrac {3+5}{2}=\dfrac {8}{8}=1\\[2ex] a_{2}&=&\dfrac {3-5}{8}=\dfrac {-2}{8}=\dfrac {-1}{4}\end{eqnarray*}$$
$$\begin{array}{rcl rcl } subs:&log_{\:}x&=&a_{1}\qquad\qquad&log_{\:}x&=&a_{2}\\ &log_{\:}x&=&1\qquad\qquad&log_{\:}x&=&\dfrac {-1}{4}\\ &a^y&=&x_{1}\qquad\qquad&a^y&=&x_{2}\\ &10^{1}&=&x_{1}\qquad\qquad&10^{\frac {-1}{4}}&=&x_{2}\\ &10&=&x_{1}\qquad\qquad&\dfrac {1}{10^{\frac {1}{4}}}&=&x_{2}\\ &&&&x_{2}&=&\dfrac {1}{10^{\frac {1}{4}}}=\dfrac {1}{\sqrt[4]{10}}=* \end{array}$$
Jestliže máme výsledek, ve kterém se nám vystytuje ve zlomku odmocnina, musíme zlomek usměrnit a výsledek uvést bez odmocniny ve jmenovateli.
$$*\dfrac {1}{\sqrt[4]{10}}\cdot\dfrac {\sqrt[4]{10^{3}}}{\sqrt[4]{10^{3}}}=\dfrac {\sqrt[4]{10^{3}}}{\sqrt[4]{10^{4}}}=\dfrac {\sqrt[4]{10^{3}}}{10}=x_{2}$$
Máme dopočítány oba výsledky, zkontrolovali jsme podmínky a zjistili, že výsledky vyhovují oba. Proto zapíšeme výslednou množiu řešení a máme hotovo.
$$K =\lbrace10;\dfrac {\sqrt[4]{10^{3}}}{10}\rbrace$$ [/wpex]

3)   Integrujte $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}dx$ [wpex more=“Zobrazit řešení“ less=“Skrýt řešení“] Řešení:
Při výpočtu použijeme základní trik. Převedeme odmocninu na mocninu, kterou převedeme ze jmenovatele do čitatele zlomku:

$$\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}dx = \int \dfrac{1}{x^{1/3}}dx = \int x^{-1/3}dx,$$
Po úpravě integrálu použijeme známý vzoreček a integrál spočítáme:
$$\color{#4682B4}{\int x^n = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$$
$$\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}dx = \int \dfrac{1}{x^{1/3}}dx = \int x^{-1/3}dx=\dfrac{x^{-1/3+1}}{\frac{-1}{3}+1} = \dfrac{x^{2/3}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{\frac{2}{3}} = \underline{\underline{\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{x^2}+C}}$$
[/wpex]