Úprava goniometrických výrazů
Výpočty goniometrických funkcí, vzorečky, …
200 Kč
Popis
V online kurzu se naučíte používat goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Pracovat s jejich významnými hodnotami a pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi se naučíte upravovat výrazy.
Kurz je rozdělen do dvou částí.
V I. najdete 24 různých příkladů, které se týkají využívání významných hodnot goniometrických funkcí, dále využívání vztahů mezi goniometrickými funkcemi a vzorce pro dvojnásobný a poloviční úhel (argument).
4 příklady jsou písemnou formou komentované krok za krokem a 20 příkladů je vypočtených, ale bez slovních komentářů. Na závěr vás čeká 20 příkladů k procvičení dané kapitoly.
V II. najdete 11 příkladů, které se počítají pomocí součtových vzorců nebo vzorců pro součet a rozdíl goniometrických funkcí. 3 příklady jsou vysvětleny krok po kroku, zbývající jsou vypočítány. K procvičení probraných vzorečků je připraveno 10 příkladů.
Online kurz máte k dispozici po dobu jednoho měsíce.
Najdete zde např.:
1) Uprav na součin výrazů:
\(\cos5a – \cos\left(a+\dfrac{\pi}{2}\right)\)
2) Dokaž rovnost výrazu a urči podmínky:
\(\dfrac{2}{cos^{2} x}=(1+tg\:x)^{2}+(1-tg\:x)^{2} \)
3) Výraz zjednoduš dvěma způsoby – pomocí součtového vzorce i pomocí vzorců pro součet a rozdíl goniometrických funkcí:
\(\sin (\alpha+30^{\circ}) + \sin(\alpha-30^{\circ})\)
Ukázka z kurzu
Vypočítejte hodnotu zlomku:
\(\dfrac{\sin 30^{\circ} – \cos 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}-\cos 30^{\circ}}\).
Můžeme si všimnout, že se nám ve zlomku vyskytují základní goniometrické funkce, jejichž hodnoty známe.
V prvním kroku upravíme zlomek tak, že místo goniometrických funkcí napíšeme jejich hodnoty.
$$\dfrac{\sin 30^{\circ} – \cos 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}-\cos 30^{\circ}}= \dfrac{\dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}
$$
V dalším kroku upravíme čitatele i jmenovatele daného zlomku.
$$\dfrac{\dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}}$$
………
Za předpokladu, že má výraz smysl, jej zjednoduš:
\(\dfrac{1-\sin\: x \:- \cos2x}{\cos\:x \:- \sin2x}\)
Vidíme, že se nám ve zlomku vyskytují členy s dvojnásobným argumentem. Nejdříve tedy upravíme čitatele i jmenovatele tím, že využijeme vzorce pro dvojnásobný argument.
$$\dfrac{1-\sin\: x \:- \color{orange}{\cos2x}}{\cos\:x \:- \color{green}{\sin2x}}=\dfrac{1-\sin\: x \:- \color{orange}{(\cos^{2}x-\sin^{2}x)}}{\cos\:x \:- \color{green}{2\sin\:x\cdot\cos\:x}}$$.
V čitateli se zbavíme závorky a ve jmenovateli můžeme vytknout \(\cos x \).
$$\dfrac{1-\sin\: x \:- (\cos^{2}x-\sin^{2}x)}{\cos\:x \:- 2\sin\:x\cdot\cos\:x}=\dfrac{1-\sin\: x \:-\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos\:x (1-2\sin\:x)}.$$
Více v placené verzi …